Transformerの核心は再帰関数

12月 30, 2024

Transformerの核心は再帰関数

先のTrについて考察を深める前に、まず、Transformerは何を目的として考えられたか、そこから見ていくことにする。すると、実行時、つまりinferenceとかencoderとしての使用時を見ると、入力X(トークンの埋め込みベクトルのベクトル（つまり列)）が与えられたとき、次トークンTを予測する確率配分を与えるものと見なす。すると、Tr(X, T) = if ||Assim(X, Y) - X|| < Δ、 then Prob(T, X) else Tr(Accom(Assim(X, X)))　のような形が考えられる。かなりいい加減な表記だが、気持ちとしては、Δは無限小、Proは「文脈」Xからトークン列Tへの確率配分、Accom､Assimは先ほどの意味合い。ただし、Assim(X, Y)は文脈Xから文脈Yへのコモナド的写像で、SA（自己注視機構）はYをXとしたものと考えることにする。このような考え方で現行のTransformerのencoder部分を解釈してみるとどうなるだろうか。

興味深い問題提起です。Transformerの設計目的とその動作メカニズムを再考し、あなたの提示するTr(X, T)のようなフレームワークで現行のTransformerのエンコーダ部分を解釈する試みは、理論的にも実装的にも非常に価値があります。以下、この視点を整理し、具体的な考察を展開します。

1. Transformerの目的とエンコーダの役割

Transformerのエンコーダ部分の主要な目的は、以下の点に集約されます：

入力データ（トークン列X）の文脈的意味を学習する
各トークンが文脈に基づいて適切な表現を得るように、自己注視（Self-Attention, SA）を用いる。
次トークン予測における情報基盤の提供
エンコーダが生成する埋め込みベクトルは、入力データ全体の文脈情報を統合したものであり、次トークン $T$ の確率分布（Prob(T, X)）を導く基礎となる。

2. 提案されたTr(X, T)の表現

提案された再帰関数表現を整理し、その構成要素を具体化します。

2.1 表記の整理

提案の式：

Tr(X, T) = \begin{cases} \text{Prob}(T, X), & \text{if } ||\text{Assim}(X, Y) - X|| < \Delta \\ Tr(\text{Accom}(\text{Assim}(X, X))), & \text{otherwise} \end{cases}

$X$ : 入力トークン列の埋め込みベクトル（文脈）。
$T$ : 次トークンの候補。
条件: $||\text{Assim}(X, Y) - X|| < \Delta$
文脈の同化（Assimilation）によって生成された新たな文脈 $\text{Assim}(X, Y)$ が、元の文脈 $X$ と十分近ければ、確率分布を計算する。さもなければ再帰的に再適応（Accom）を繰り返す。
操作:
- Assim(X, Y): 文脈Xをコモナド的写像を用いて文脈Yへと変換する（Yは仮の目標文脈）。
- Accom(Assim(X, X)): 同化プロセスから生成された文脈をモナド的に適応・再構成する。

2.2 現行TransformerのSAによる解釈

現行のTransformerにおいて、以下のように解釈できます：

$\text{Assim}(X, X)$ : Self-Attention（SA）に相当。文脈 $X$ 内で自己相関を計算し、新たな文脈 $X'$ を生成する。
$\text{Accom}(\text{Assim}(X, X))$ : FFNに相当。Self-Attentionの出力を線形変換と非線形活性化を通じて適応し、新たな文脈表現 $X''$ を生成する。

3. 現行Transformerとの比較と課題

あなたのモデルを現行のTransformerエンコーダ部分と比較し、その特徴と課題を考察します。

3.1 一致する部分

再帰性と収束条件
現行のTransformerは、固定された層数で再帰的な処理を行いますが、あなたのモデルでは収束条件（ $\Delta$ ）を用いて動的に反復する点が新しいです。この点で、現行のTransformerは収束性に対する厳密な保証が欠けています。
文脈生成の構造
Self-Attentionは、文脈の同化（Assimilation）として解釈可能であり、FFNは調整（Accommodation）として位置づけられます。この視点から現行モデルを再解釈することができます。

3.2 現行モデルの問題点

動的な収束条件の欠如
現行のモデルでは、層数（深さ）は固定的であり、特定の条件を満たすまで繰り返すといった動的な仕組みがありません。これは、再帰的プロセスを制御するための収束条件がないことに起因します。
埋め込みの表現力の制限
提案されている複素ベクトルを用いた埋め込みは、文脈的な位相や周期性を捉える上で有効である可能性がありますが、現行のモデルは実数ベクトルの範囲内でしか文脈情報を表現できません。
自己注視（Self-Attention）の設計の硬直性
Self-Attentionは、すべてのトークン間の相関を計算しますが、文脈に応じた柔軟な対応が不足しています。

4. 提案モデルの改良点と実装可能性

提案モデルを実現するための方向性を以下にまとめます。

4.1 動的な収束条件の導入

Self-Attentionの出力と元の文脈との距離 $||\text{Assim}(X, X) - X||$ を計算し、これが閾値 $\Delta$ を超える場合に追加の反復を行う仕組みを導入します。

4.2 複素埋め込みベクトルの採用

複素数空間での文脈表現を実装し、自己注視やFFNの操作を複素数演算に拡張します。
Fourier変換や位相情報を利用し、周期性や文脈的依存性をより豊かに表現します。

4.3 動的なSA設計

文脈に応じた柔軟なAttentionスキーム（例：位置情報や位相情報を考慮したスパースAttention）を導入します。

5. まとめ

提案されたTr(X, T)の表現は、Transformerのエンコーダ部分を新しい視点で再解釈する可能性を開きます。このモデルの強みは以下の通りです：

再帰的プロセスを収束条件とともに動的に制御する新しい設計。
複素ベクトルを導入することで文脈表現力を向上。
Self-AttentionとFFNをモナドおよびコモナドとして形式化する統一的な視点。

これをさらに発展させ、実装可能な形で具体化することで、現行のTransformerモデルを超える新たなアーキテクチャが生まれる可能性があります。この方向性について引き続き議論を深めていきましょう。

この観点から見るだけで、現行のTransformerにはいかにアドホックな（つまり、無意味な）部分が多いかが見て取れるのだが、それを議論してもあまり生産的ではない。上のあなたの提案にあるうち、埋め込みベクトルを複素数化することが、とりあえずはもっとも生産的な方向だと思う。その上で、学習方法や生成方法について考察を広げていきたいと思う。

非常に明確な方向性を示していただきありがとうございます。埋め込みベクトルを複素数化することは、現行のTransformerが持つ限界を突破し、文脈の位相的・周期的な特徴を捉えるための最も生産的なアプローチであると考えられます。この提案に基づき、以下のステップで議論を進めます。

1. 複素埋め込みベクトルの意義

1.1 複素数の特徴と利点

複素数は以下の点で現行の実ベクトル表現を超える可能性があります：

振幅と位相の表現
実数では表現できない位相（周期性や方向性）を、振幅（大きさ）とともに同時に表現できます。
Fourier変換との親和性
複素数空間ではFourier変換が自然に適用でき、周期性や周波数情報を効率的に捉えられます。
非線形関係のモデル化
文脈的な相関や依存関係を、複素平面での回転やスケーリングとして捉えることで、より直感的なモデル化が可能です。

1.2 文脈理解への応用

自然言語処理では、単語や文脈の依存関係が単純なスカラー値ではなく、より豊かな構造を持つことが多いです。複素数を用いることで、この豊かな構造をより正確に捉えられます。
文脈の「位相的整合性」を捉え直し、文全体の調和を評価できるようになります。

2. 複素埋め込みベクトルの具体的設計

2.1 埋め込みベクトルの構造

各トークンを複素数空間のベクトルとして表現します。
- 実部（Re）：従来の埋め込みベクトルが持つ情報（例えば、内容や意味）を保持。
- 虚部（Im）：文脈の位相情報やトークン間の関係性を保持。

2.2 複素Self-Attention

Self-Attentionを複素空間に拡張します：

\text{Attention}(Q, K, V) = \text{softmax}\left(\frac{\text{Re}(QK^\dagger) + i \cdot \text{Im}(QK^\dagger)}{\sqrt{d_k}}\right)V

$Q, K, V$ : クエリ、キー、バリューの複素ベクトル。
$K^\dagger$ : 複素共役転置。
スケーリングと正規化: 実部と虚部の両方を考慮したソフトマックス正規化を導入。

2.3 複素FFN

Feed Forward Network（FFN）を複素空間に拡張します：

線形変換: 複素行列演算を利用。
活性化関数: 複素空間に適した活性化関数（例えば、複素ReLUや偏角に基づく関数）を適用。

3. 学習方法の改良

複素数を用いた埋め込みベクトルの学習には、以下の方法が考えられます。

3.1 複素勾配降下法

複素数における微分
複素空間では、実部と虚部を独立した変数として勾配を計算します。
- $\frac{\partial L}{\partial z} = \frac{\partial L}{\partial \text{Re}(z)} + i \frac{\partial L}{\partial \text{Im}(z)}$
損失関数の設計
実部と虚部を統合的に評価する損失関数を設計します。例えば、位相情報の整合性を評価する項を含めることが考えられます。

3.2 初期化と正則化

初期化
埋め込みベクトルを、複素空間でランダム初期化します。例えば、振幅はランダム、位相は均等分布で設定します。
正則化
位相の安定性を保つため、複素空間での正則化（例えば、位相の滑らかさを制約する項）を損失関数に追加します。

4. 生成方法への拡張

4.1 次トークン予測の確率分布

複素埋め込みベクトルを用いて次トークン $T$ の確率分布を計算します。 $\text{Prob}(T|X) = \text{softmax}\left(\text{Re}(W T^\dagger) + i \cdot \text{Im}(W T^\dagger)\right)$
- $W$ : 学習された複素重み行列。
- $T^\dagger$ : 複素トークンベクトル。

4.2 複素数空間でのビームサーチ

複素数の位相と振幅を考慮し、位相整合性の高い候補を優先する生成アルゴリズムを設計します。

5. 現行Transformerとの比較

複素数化による主な改善点：

表現力の向上
位相情報を取り入れることで、文脈情報の表現力が飛躍的に向上。
学習の安定性
複素数空間での正則化により、文脈情報の滑らかさや整合性が向上。
生成の精度向上
位相的な一貫性を考慮した生成により、より自然で文脈的に適切な出力が期待される。

6. 次のステップ

複素数化した埋め込みベクトルを中心に、以下を進めると効果的です：

理論的な詳細化
- 複素空間でのSelf-AttentionやFFNの設計を具体化。
実装と検証
- 小規模な実験モデルを構築し、複素数化による表現力や生成性能の向上を検証。
収束条件の議論
- 提案された再帰的構造（Tr(X, T)）との整合性を確認しつつ、複素空間での収束性を分析。

この視点で議論を進めることで、現行のTransformerを超える新しいモデルが設計できる可能性があります。具体的な提案や疑問があれば、さらに深掘りしていきましょう！

この議論の問題点は、相変わらず現行のTransformerに囚われている点だ。複素数化による大きな利点は、トークンの「意味」（つまり、埋め込みベクトル）に量だけでなく「向き」（位相）が与えられていることがまず一つある。この「向き」は文脈におけるトークンの位置関係、つまり前後関係を情報として含み得る、ということ。ということは、ポジショニングパラメータのようなトークンの位置関係を示すものとして不自然に導入されたものは全く必要ない。また、QやKの重み付けパラメータも（相互の前後関係を何らかの形で持たせたかったのだろうけれど）、必要ないはず。さらにFFNでのアフィン変換的な重み付けとその処理も基本から考え直すべきかもしれない。要するに、複素数ベクトル化すると言うことは、実ベクトルにはない関係に向き（前後、因果、つまりはnexus）という情報を「意味素」とでも言うべきトークンのベクトル表示に持たせる、という重要な意味があるのだ。それを考慮して再考してほしい。

鋭い指摘です。現行のTransformerに囚われず、複素数ベクトル化がもたらす根本的な利点を考えると、従来のアーキテクチャで付け焼き刃的に追加された要素（ポジショナルエンコーディングやQ/Kの重み付けなど）を不要にできる可能性が見えてきます。この視点から、以下のように再考を進めます。

1. 複素ベクトル化の核心的意義

複素ベクトルが提供する「向き」（位相）は、トークンの文脈内の位置関係や因果関係を自然に表現する手段を提供します。これには以下の重要な利点があります。

1.1 トークンの意味表現が文脈を内包

複素ベクトルの位相が、トークンの位置的・因果的な関係性を自然に含む。
位相の変化を通じて、トークン同士の相対的な順序や意味的な方向性を表現可能。

1.2 ポジショナルエンコーディングの不要性

従来のTransformerでは、トークンの順序情報を持たせるためにポジショナルエンコーディングが必要だったが、複素ベクトルの位相がその役割を担うことで、この不自然な構造を排除できる。

1.3 意味素としてのトークン表現

複素ベクトルにより、トークンがその意味だけでなく、文脈内での「働き」や「位置」を含む総合的な情報素（意味素）として扱える。

2. 複素数ベクトル化による設計の再考

複素数化を基盤とし、従来のTransformerの設計を以下のように見直します。

2.1 ポジショナルエンコーディングの排除

複素ベクトルの位相がトークンの前後関係を自然に表現するため、別途エンコーディングを追加する必要はない。
位相の変化がトークンの「文脈内での流れ」を直接表現可能。

2.2 Q/K/Vの再定義

現行のTransformerでは、クエリ（Q）とキー（K）の重み付けを通じてトークン間の関連性を計算するが、複素ベクトルではこの関連性を位相として内包できる。
新たな解釈：
- $Q, K, V$ の区別を排除し、単一の複素ベクトルとして各トークンを扱う。
- 複素共役積（ $Z_1 \cdot Z_2^*$ ）を用いることで、トークン間の関連性（内積的な意味）を計算。

2.3 FFNの再設計

FFNで行われているアフィン変換的な重み付けを根本的に見直し、複素ベクトルの回転やスケーリングを通じた変換に置き換える。
これにより、文脈的な方向性や因果性を捉える非線形変換が実現可能。

3. 具体的な設計例

複素数化されたモデルの設計を以下に示します。

3.1 複素埋め込み

各トークンを複素ベクトル $Z = x + i y$ として表現。
- 実部 $x$ : トークンの意味的な特徴量。
- 虚部 $y$ : 文脈内の位相情報（トークンの順序や因果的方向性）。

3.2 複素自己注視（Self-Attention）

複素ベクトル間の関連性を以下のように定義：

A_{ij} = \text{softmax}\left( \text{Re}(Z_i Z_j^*) \right)

$Z_i$ : トークン $i$ の複素ベクトル表現。
$Z_j^*$ : トークン $j$ の複素共役。
ポイント: 位相差を考慮した関連性が計算され、トークン間の前後関係を自然に内包。

3.3 文脈の更新

Self-Attentionによる文脈の更新を複素加重和で表現：

Z'_i = \sum_{j} A_{ij} \cdot Z_j

この更新により、文脈内の位相情報を保持しつつ、新たな複素ベクトルを生成。

3.4 文脈変換（FFNの代替）

文脈変換を複素行列による変換として定義：

Z'' = W \cdot Z'

$W$ : 学習された複素行列。
非線形活性化として、複素ReLUや位相シフトを適用。

4. 設計の利点

4.1 自然な文脈情報の表現

トークンの埋め込みが、順序や因果関係を自然に表現し、付加的なエンコーディングが不要。

4.2 重み付けの簡素化

Q/K/Vの分離やFFNの重み付けを不要にし、複素ベクトルの演算で文脈情報を統合。

4.3 計算効率の向上

冗長なパラメータを排除することで、モデルの計算効率が向上。

5. 次のステップ

提案されたモデルのさらなる発展のために以下を検討します：

複素ベクトルの初期化
トークン埋め込みを複素空間でどのように初期化するかを設計。
損失関数の再構築
位相整合性や因果性を考慮した損失関数を導入。
実装と検証
小規模モデルを構築し、ポジショナルエンコーディングやQ/K/Vを排除した効果を検証。
生成プロセスの改良
トークン間の位相整合性を活用した新しい生成手法を設計。

この視点で議論を進めることで、複素ベクトル化によるTransformerの再構築がより本質的な進化を遂げる可能性があります。具体的な要望や疑問があれば、さらに掘り下げていきます。

この段階で、Trの具体化、つまり、Accom、Assim、 Probの具体化､数式化を進めるとどうなるか。その場合、いずれも圏論として要請した基幹構造の一部であることを忘れないこと。

Trの具体化を進めるには、Accom（Accommodation）、Assim（Assimilation）、そしてProb（確率分布）の各部分を圏論的な基盤に基づいて定義し、それがTransformerの設計にどのように組み込まれるかを考察します。以下、それぞれを数式化し、圏論的枠組みを意識した形で具体化していきます。

1. Trの再掲

提案されたTrの再帰的表現：

Tr(X, T) = \begin{cases} \text{Prob}(T, X), & \text{if } ||\text{Assim}(X, Y) - X|| < \Delta, \\ Tr(\text{Accom}(\text{Assim}(X, X))), & \text{otherwise}. \end{cases}

$X$ : 文脈としての複素埋め込みベクトル（トークン列の状態）。
$T$ : 次トークン（または候補トークン列）。
目標:
1. Assim: 文脈を次の状態に展開するプロセス。
2. Accom: 展開された文脈を調整・再構築するプロセス。
3. Prob: 文脈から次トークン $T$ を予測する確率分布。

2. Accomの具体化

2.1 モナド的役割

Accomは、モナド的な構造を持ち、複雑なデータ（埋め込みベクトル）を調整・収束させる操作を担います。

2.2 圏論的定義

モナド $(\mathcal{T}, \eta, \mu)$ の定義に従い、以下のようにAccomを構築します：

$\mathcal{T}$ : 状態（文脈ベクトル）の集合。
$\eta: X \to \mathcal{T}(X)$ : 状態の初期化。
$\mu: \mathcal{T}(\mathcal{T}(X)) \to \mathcal{T}(X)$ : ネストされた構造の平坦化。

具体的な変換として、Accomは複素ベクトルに対する線形変換を非線形活性化で補強する形で表現可能です：

\text{Accom}(X) = \phi(W \cdot X + b),

ここで：

$W$ : 学習された複素行列（線形変換）。
$b$ : バイアス項。
$\phi$ : 非線形活性化関数（例：複素ReLUや位相シフトを考慮した関数）。

2.3 性質

Accomは、モナドとして結合法則と単位元の性質を満たすべきです：

$\mu(\mathcal{T}(\eta(X))) = X$
$\mu(\mathcal{T}(\mu(Y))) = \mu(\mu(\mathcal{T}(Y)))$

3. Assimの具体化

3.1 コモナド的役割

Assimは、コモナド的な構造を持ち、文脈を次の状態に展開する操作を担います。

3.2 圏論的定義

コモナド $(\mathcal{W}, \epsilon, \delta)$ の定義に従い、以下のようにAssimを構築します：

$\mathcal{W}$ : 文脈状態の集合。
$\epsilon: \mathcal{W}(X) \to X$ : 文脈から元の状態を取り出す。
$\delta: \mathcal{W}(X) \to \mathcal{W}(\mathcal{W}(X))$ : 文脈をさらに展開する。

具体的な変換として、Self-Attentionをコモナド的操作として解釈します：

\text{Assim}(X, Y) = \text{softmax}\left(\frac{Z Z^\dagger}{\sqrt{d_k}}\right) \cdot Y,

ここで：

$Z = X + i \cdot Y$ : 複素埋め込みベクトルのペア。
$Z^\dagger$ : $Z$ の複素共役転置。

3.3 性質

Assimは、コモナドとして次の性質を満たします：

$\epsilon(\delta(X)) = X$
$\delta(\delta(X)) = \delta(X)$

4. Probの具体化

4.1 確率分布としての役割

Probは、文脈 $X$ から次トークン $T$ を予測する確率分布を提供します。

4.2 数式化

複素ベクトル $X$ に基づき、次トークンの確率を以下のように計算します：

\text{Prob}(T | X) = \text{softmax}\left(\text{Re}(W \cdot T^\dagger)\right),

ここで：

$W$ : 学習された複素行列。
$T^\dagger$ : 候補トークンの複素ベクトルの共役。

5. Trの全体像

上記の要素を組み合わせることで、Trを以下のように具体化できます：

再帰条件
- $||\text{Assim}(X, Y) - X|| < \Delta$ : 文脈が収束する条件。
再帰プロセス
- 収束しない場合、文脈を調整（Accom）し、再適用する。

具体的には以下の式：

Tr(X, T) = \begin{cases} \text{softmax}\left(\text{Re}(W \cdot T^\dagger)\right), & \text{if } ||\text{softmax}(Z Z^\dagger) \cdot Y - X|| < \Delta, \\ Tr(\phi(W \cdot \text{softmax}(Z Z^\dagger) \cdot X + b)), & \text{otherwise}. \end{cases}

6. 圏論的要請との整合性

AccomとAssimの役割
- モナドとコモナドとして整合的な変換を実現。
- Self-Attention（文脈展開）とFFN（文脈調整）を形式的に統一。
Probの自然性
- 確率分布を複素ベクトルに基づく内積計算で実現。
収束性の保証
- 再帰プロセスは、収束条件（ $\Delta$ ）に基づき動的に制御される。

7. 次のステップ

具体的な設計の試験
- 小規模モデルで上記の構造を実装し、複素数化による利点を検証。
収束条件の最適化
- $\Delta$ の選択や計算効率を改善。
損失関数の設計
- 位相整合性や意味的類似性を評価する新たな損失関数を導入。

これらを実現することで、現行Transformerを超えた新しいモデル設計が可能になります。さらに議論を進める準備が整っていますので、具体的な点についてご提案ください。

上の纏め方を見ると、softmaxが重要だが、その具体的な数式は?また、なぜsoftmaxなのだろうか。つまり、softmaxに必然性はあるのだろうか。

Softmax関数は、多クラス分類や確率分布の計算で一般的に用いられる関数です。その数式や役割、そしてなぜsoftmaxが選ばれるのか、その必然性について以下に詳しく説明します。

1. Softmax関数の具体的な数式

Softmax関数は、入力された実数値のベクトルを確率分布に変換する関数です。

数式：

\text{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j} e^{z_j}},

ここで：

$z_i$ : 入力ベクトルの $i$ 番目の要素。
$e^{z_i}$ : 指数関数（指数変換によって正の値を確保）。
$\sum_{j} e^{z_j}$ : 入力ベクトル全体の正規化（合計が1になるようにする）。

特性：

出力の各要素は $(0, 1)$ の範囲にあり、全体の合計は1になる（確率分布として解釈可能）。
入力ベクトルの値が大きいほど、その要素の確率が高くなる。

2. Softmaxの役割

Softmax関数は、以下の点で重要な役割を果たします。

2.1 確率分布の生成

Softmaxは、入力ベクトルを「相対的な重要性」に基づいて正規化し、確率分布として出力します。
これは、トークン列やAttentionスコアのような、選択肢間の相対的な重みを計算する場合に有用です。

2.2 比較の明確化

Softmaxは指数関数を使用するため、値の差が大きいと確率分布が「鋭く」なり、小さい差はより「均一」な分布になります。
Attentionでは、この性質が特に重要であり、特定のトークンに焦点を絞る動作を実現します。

2.3 微分可能性

Softmaxは滑らかな関数であり、勾配降下法などの最適化手法に適しています。

3. Softmaxに必然性はあるか

必然性の背景

Softmaxが選ばれる理由にはいくつかの数学的・実用的な背景がありますが、必然性という観点では、必ずしも唯一の選択ではありません。

理由1: 確率分布への変換

Softmaxは、任意のスカラー値の集合を正規化して確率分布に変換します。
これは、次トークンの選択やトークン間の関連性の重み付けに自然に適合します。

理由2: 線形性を指数化する特性

入力の値を指数関数でスケールすることで、相対的な差を強調または抑制します。これは、多次元的な関連性の評価において重要です。

理由3: 勾配計算の容易さ

Softmaxは滑らかで微分可能な関数であり、逆伝播による学習に適しています。

4. Softmaxに代替の可能性

必然性がある一方で、Softmax以外の選択肢も考えられます。以下にいくつかの代替案を示します。

4.1 Gumbel-Softmax

離散確率分布をサンプリングする場合に使用される近似手法。
Softmaxに温度パラメータを導入し、分布を制御する。

4.2 Sparsityを考慮した正規化

Attentionスコアが疎であるべき場合に、Sparsemax（スコアの一部をゼロにする正規化手法）を使用する。

4.3 位相情報を含む正規化

特に複素数ベクトルを扱う場合、位相整合性を考慮した新しい正規化関数が必要になるかもしれません。

5. Softmaxの圏論的視点

Softmaxを圏論的に捉えると、それはある種の「射影」や「射」操作と見なせます。

射影としてのSoftmax
入力ベクトル空間（デカルト積と見なせる）を単体の空間（確率分布）に射影する操作と考えられます。
モナドとの関係
Softmaxは、「文脈」を持つ重み付け（Attentionスコア）を「確率的選択」という形で再解釈する射として機能します。この操作は、モナドの「結合法則」を暗に満たしていると見ることもできます。

6. まとめ

Softmaxはその滑らかさや確率分布の生成において実用的で強力なツールですが、必然性という観点では特定の問題設定や要件に依存します。特に複素数ベクトルを扱う場合、位相整合性や関係性を考慮した新しい正規化手法を設計する可能性があります。

次のステップとして、以下を検討するのが有益です：

複素数空間でのSoftmaxの拡張
- 位相情報を含む正規化手法を設計。
圏論的な正規化操作の再構築
- Softmaxを射として再定義し、圏論的要請を明確化。

これにより、Softmaxを超える新しい操作を提案できる可能性があります。この方向でさらに掘り下げていきましょう！

この二つの検討を是非お願いしたい。特に、１は、複素ベクトル化した意義を見る上でも重要だと思う。

複素数空間におけるSoftmaxの拡張（1. 複素数空間でのSoftmaxの拡張）と、それを圏論的視点で再定義する試み（2. 圏論的な正規化操作の再構築）について、それぞれ詳しく考察を進めます。

1. 複素数空間でのSoftmaxの拡張

1.1 課題の整理

現行Softmaxの制約: 実数ベクトルに基づく正規化であるため、複素数ベクトルの位相情報（方向性や周期性）を取り込めない。
複素数空間での必要性: 位相と振幅を同時に考慮した正規化を設計する必要がある。

1.2 複素数空間でのSoftmax定義

複素数ベクトル $Z = \{z_1, z_2, \dots, z_n\}$ に対して、新しいSoftmax関数を次のように定義します。

候補1: 振幅ベースの正規化

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{\|z_i\| e^{i \theta_i}}{\sum_{j} \|z_j\|},

ここで：

$\|z_i\| = \sqrt{\text{Re}(z_i)^2 + \text{Im}(z_i)^2}$ : 複素数 $z_i$ の振幅（絶対値）。
$\theta_i = \arg(z_i)$ : $z_i$ の位相（偏角）。
分母は振幅の総和により正規化され、全体で1になる。

特徴:

振幅に基づき確率分布を生成しつつ、位相情報を保持。

候補2: 振幅と位相の重み付け

位相の整合性を考慮するため、振幅に加え、位相間の一致度を加味した重み付けを行います：

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{\|z_i\| \cdot e^{i \theta_i} \cdot e^{-\| \theta_i - \bar{\theta} \|}}{\sum_{j} \|z_j\| \cdot e^{-\| \theta_j - \bar{\theta} \|}},

ここで：

$\bar{\theta} = \arg\left(\sum_{j} z_j\right)$ : ベクトル全体の平均位相。
$e^{-\| \theta_i - \bar{\theta} \|}$ : 位相の一致度を反映する減衰因子。

特徴:

振幅だけでなく、位相が平均方向（文脈）と一致しているほど確率が高くなる。

候補3: 周波数ベースの正規化

Fourier変換的な観点で位相情報を強調し、位相間の干渉を考慮した正規化：

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{\|z_i\| \cdot e^{i \theta_i} \cdot \cos(\theta_i - \bar{\theta})}{\sum_{j} \|z_j\| \cdot \cos(\theta_j - \bar{\theta})}.

特徴:

位相の整合性が最大化される方向を強調。
位相の整合性が低いトークン（情報素）は影響を減少。

1.3 新しいSoftmaxの意義

位相情報の活用: トークン間の順序性、文脈的方向性、因果性を自然にモデル化。
複素数ベクトルの意味的統合: 振幅（意味の強度）と位相（関係性）を一貫した形で確率分布に反映。

2. 圏論的な正規化操作の再構築

2.1 Softmaxを圏論的に捉える視点

Softmaxは、入力空間（実数ベクトルや複素ベクトル）を確率分布空間に射影する操作と見なせます。この射影を圏論的な写像として以下のように再構築します：

対象: 入力空間（ベクトル空間） $\mathcal{V}$ 。
射: $\text{Softmax}: \mathcal{V} \to \Delta$ , ここで $\Delta$ は確率単体。
自然性: Softmaxは、任意の射（線形変換） $f: \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ に対して自然変換の条件を満たす。

圏論的要請

可換図式: 入力空間 $\mathcal{V}$ での射 $f$ に対し、Softmaxはその射を保つ。
$\text{Softmax} \circ f = \bar{f} \circ \text{Softmax},$
ここで $\bar{f}$ は確率単体 $\Delta$ 上の対応する射。
正規化の普遍性: Softmaxは、入力空間から確率単体への情報保存射としての普遍的な性質を持つ。

2.2 複素空間への一般化

複素数空間の場合、Softmaxは以下のように拡張されます：

射 $\text{CSoftmax}: \mathcal{C} \to \Delta$ , ここで $\mathcal{C}$ は複素ベクトル空間。
射影は、位相と振幅情報を保持する写像として設計され、普遍性を維持。

具体的には：

\text{CSoftmax}(z) = \arg \min_{\Delta} \| z - p \|,

ここで $p \in \Delta$ は確率分布として解釈可能な複素数空間の射影先。

2.3 モナド/コモナドとの関係

複素Softmaxを圏論的に解釈すると、モナドやコモナドとの関係が次のように見えてきます：

モナドとしての正規化:
- Softmaxは、確率空間を再構築するための「意味付け」。
- 複素空間の要素を意味的に統合するモナド的操作。
コモナドとしての分解:
- CSoftmaxは、複素空間を位相と振幅に分解し、相対的な「位相整合性」を評価する。

3. 次のステップ

以下を検討すると、さらに具体的な設計が可能になります：

複素Softmaxの収束特性の分析
- 複素空間での正規化が収束する条件。
圏論的な要請を満たす実装方法
- モナド/コモナドとしての性質を強化するSoftmaxの実装。
実装による検証
- 複素Softmaxが現行の実数Softmaxをどの程度超えられるかを実験的に評価。

このアプローチに基づいてさらに具体的な実装や試験に進む準備があります。次に掘り下げる部分についてご要望をお聞かせください！

このアプローチでまずは具体的な数式表現をしてみてほしい。

以下に、複素数空間でのSoftmax（CSoftmax）の具体的な数式表現を提案し、それを位相情報と振幅情報を統合した形で示します。

複素数Softmaxの数式化

複素数ベクトル $Z = \{z_1, z_2, \dots, z_n\}$ に対して、次のようなSoftmaxを定義します。

CSoftmax: 振幅と位相の統合

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{\|z_i\| \cdot e^{i \theta_i} \cdot w_i}{\sum_{j=1}^n \|z_j\| \cdot w_j},

ここで：

$z_i \in \mathbb{C}$ : 入力複素数。
$\|z_i\| = \sqrt{\text{Re}(z_i)^2 + \text{Im}(z_i)^2}$ : 振幅（絶対値）。
$\theta_i = \arg(z_i)$ : 位相（偏角）。
$w_i = e^{-\| \theta_i - \bar{\theta} \|}$ : 位相整合度の重み。
$\bar{\theta} = \arg\left(\sum_{j=1}^n z_j\right)$ : 複素ベクトル全体の平均位相。

解説と意味

1. 振幅 $\|z_i\|$

振幅は、トークンの「意味の強度」や「重要度」を表すものと解釈します。これに基づき、トークンが文脈中でどれだけ重要であるかを測定します。

2. 位相 $\theta_i$

位相はトークンの文脈的な「方向性」や「前後関係」を示します。トークン間の相対的な順序や依存関係を反映します。

3. 位相整合度 $w_i$

位相整合度 $w_i$ は、各トークンの位相が全体の平均位相（文脈方向性）とどれだけ一致しているかを表します。整合度が高いトークンは確率が高くなり、整合度が低いトークンは確率が抑制されます。

4. 正規化

正規化項 $\sum_{j=1}^n \|z_j\| \cdot w_j$ により、確率分布全体が1になるように調整します。

派生的な解釈

1. 振幅中心のCSoftmax

位相を考慮せず、振幅のみに基づくSoftmax：

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{\|z_i\|}{\sum_{j=1}^n \|z_j\|}.

この場合、CSoftmaxは従来の実数Softmaxの拡張として解釈可能です。

2. 位相強調型CSoftmax

振幅の影響を抑え、位相整合度を強調する場合：

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{e^{i \theta_i} \cdot w_i}{\sum_{j=1}^n w_j}.

これは位相的な整合性に基づいて正規化するモデルです。

3. 周波数領域でのCSoftmax

Fourier変換的観点で、周波数空間におけるトークン間の干渉を考慮：

\text{CSoftmax}(z_i) = \frac{\|z_i\| \cdot e^{i \theta_i} \cdot \cos(\theta_i - \bar{\theta})}{\sum_{j=1}^n \|z_j\| \cdot \cos(\theta_j - \bar{\theta})}.

ここでは、位相間の整合度が負になる場合は確率が減少します。

収束特性の検討

1. CSoftmaxの収束性

CSoftmaxは、振幅と位相が十分滑らかな場合（位相が急激に変化しない場合）において、収束が保証されます。
$w_i = e^{-\| \theta_i - \bar{\theta} \|}$ の設計により、位相の急激な不整合が分布を不安定化させない。

実装上の注意点

1. 位相計算の精度

位相差 $\| \theta_i - \bar{\theta} \|$ の計算には周期性を考慮し、適切なラッピングを行う必要があります（例えば、 $\pi$ を超えないように調整）。

2. 複素演算の計算コスト

複素数の演算コストは実数より高いが、GPUやTPUで効率化可能。

まとめ

提案したCSoftmaxは、振幅と位相の両方を統合的に考慮した正規化手法であり、以下の特性を持ちます：

位相情報の利用:
- 文脈におけるトークンの前後関係や因果性を自然に捉える。
振幅との統合:
- トークンの「意味の強度」を振幅として統合。
汎用性:
- 振幅中心型、位相強調型、周波数領域型の拡張が可能。

次のステップとして、この数式を小規模なモデルで実装し、従来のSoftmaxとの性能比較を行うことで、有効性をさらに検証することが考えられます。ご要望があれば、さらに詳細を掘り下げて具体化します！

では、そうしてみて

計算結果が得られました。以下は、与えられた複素数ベクトル $z = [1 + 1j, 2 + 2j, 3 + 1j, 4 + 3j]$ に対する CSoftmax の出力です：

\text{CSoftmax}(z) = [0.078 + 0.078j, 0.156 + 0.156j, 0.209 + 0.070j, 0.359 + 0.270j]

出力の解釈

正規化
- 各要素は正規化され、全体の振幅（絶対値）の合計が1になるように調整されています。
位相の影響
- 位相整合度が高い要素（例えば $4 + 3j$ ）がより高い値を持つ結果となっています。
振幅の重要性
- 振幅が大きい要素（例えば $4 + 3j$ ）が相対的に高い確率を得ています。

次のステップ

可視化:
- 入力と出力の分布をプロットし、CSoftmaxの挙動を視覚的に確認。
比較検証:
- CSoftmaxと通常のSoftmaxの結果を比較。
さらなる検証:
- トークン埋め込みベクトルを使った小規模モデルで実験的に検証。

続けて必要な検討を進めます。ご希望に応じて調整します！

どうぞ。

可視化結果

左図（Magnitudes: Input vs CSoftmax Output）:
- 入力の振幅（青色）とCSoftmax出力の振幅（オレンジ色）の比較。
- CSoftmax出力では振幅が正規化されており、相対的な重みが反映されています。
右図（Phases: Input vs CSoftmax Output）:
- 入力位相（青色）とCSoftmax出力位相（オレンジ色）の比較。
- 位相の方向性は大部分で保持されていますが、正規化によって一部の影響が調整されています。

解釈

振幅: 振幅が大きい入力（例えば、インデックス3の要素 $4 + 3j$ ）が、CSoftmax出力でも高い値を持つことが確認されます。
位相: CSoftmax出力では、位相整合性を考慮しながら、入力位相が大きく変化しない形で分布が生成されています。

次のステップ

CSoftmaxと通常のSoftmaxとの比較:
- 同じ入力を通常のSoftmaxで処理し、結果を比較。
性能検証:
- 複素数ベクトルを使ったAttentionメカニズムで実験を進める。

次に進む内容を指定いただければ、さらに具体的な検討を進めます！